AI obaliła hipotezę węgierskiego geniusza matematyki, Paula Erdősa. Matematycy w szoku

Maszyny, czy to tradycyjne komputery, czy AI, przestają być kalkulatorami zwalniającymi ludzi od uciążliwego przeliczania dużych liczb i wielkich ilości danych. Zaczynają mierzyć się, z sukcesami, z wielkimi problemami matematyki, z którymi ludzie zmagają się od dekad.

Na czym polegał problem Paula Erdősa?

Ile linii o jednakowej długości można maksymalnie narysować, łącząc pewną liczbę punktów na papierowej kartce o nieskończonych wymiarach? Paul Erdős, węgierski matematyk silnie związany z polską szkołą matematyczną, sformułował problem w 1946 roku w artykule „On Sets of Distances of n Points”.

Pytanie to wydaje się proste, ale to tylko pozór. W rzeczywistości matematycy od dziesięcioleci poszukiwali rozstrzygającej problem ostatecznie i jednoznacznie, odpowiedzi. I, choć począwszy od samego Erdősa, hipotez było wiele, o pełnym zadowoleniu z rozwiązania problemu nie było mowy.

Jeśli chodzi o hipotezę Erdősa, to przypuszczał on, że wzory dające najwięcej połączeń to punkty ułożone w postaci sieci, co oznacza, że maksymalna liczba ich połączeń byłaby tylko nieznacznie wyższa od samej liczby punktów. Jednak próby udowodnienia, że to naprawdę jest górna granica, lub znalezienia innego układu punktów, który mógłby dać znacznie więcej połączeń, nie dawały zadowalających rezultatów. Hipoteza Erdősa była potem „ulepszana”. Ostatni raz miało to miejsce ponad 40 lat temu.

Jak zareagowali matematycy na obalenie hipotezy Erdősa przez AI?

W końcu przyszły lata dwudzieste XXI wieku. Pojawiły się tzw. wielkie modele językowe AI (z ang. Large Language Models, LLM). Szybko podjęto próby wykorzystania ich możliwości w nauce, w tym także w dziedzinie trudnych problemów matematycznych. Wyniki tych usiłowań budziły w ciągu ostatnich kilku lat mieszane uczona. Jednak w maju 2026 r. opublikowano pracę dowodzącą, że model opracowany przez OpenAI potrafił wykazać, że Erdős znacznie się mylił w swojej hipotezie i że można ułożyć punkty w mniej symetrycznych niż regularne sieci wzorach, które mogą dać znacznie większą liczbę połączonych liniami par. Twierdzenia AI zostały dokładnie zbadanie i zweryfikowane przez matematyków, którzy podpisali się pod publikacją potwierdzająca osiągnięcie sztucznej inteligencji.

„To problem, którego rozwiązania nie spodziewałem się doczekać za mojego życia,” mówił publikowany na łamach „New Scientist” Misha Rudnev z Uniwersytetu w Bristolu w Wielkiej Brytanii. „Absolutna sensacja”.

Inny matematyk, Tim Gowers z Uniwersytetu w Cambridge napisał w poście na blogu towarzyszącym tej pracy, że rozwiązanie to jest „kamieniem milowym w matematyce AI”. „Gdyby człowiek napisał ten artykuł i zgłosił go do ‘Annals of Mathematics’, a ja zostałbym poproszony o szybką opinię, bez wahania zaleciłbym jego przyjęcie. Żadne wcześniejsze dowody wygenerowane przez AI nie zbliżyły się nawet do tego poziomu”.

„Moja pierwsza reakcja to było niedowierzanie,” komentował z koeli Will Sawin z Uniwersytetu Princeton. „Myślałem, że sposób, w jaki próbuje to rozwiązać, nie zadziała, ale potem przyjrzałem się temu dokładniej i przekonałem się, że to działa. Dość szybko przekonałem się, że jest to jak dotąd najważniejsze osiągnięcie sztucznej inteligencji w matematyce.”

Jak podeszła do trudnego problemu matematycznego sztuczna inteligencja?

OpenAI nie ujawniła w szczegółach, czym model wykorzystany do zmagań z problemem Erdősa różni się od jej publicznie dostępnych systemów sztucznej inteligencji ani w jaki sposób został wyszkolony. W mediach cytowana jest jedynie wypowiedź badaczki z OpenAI, Sheryl Hsu, która podawała, że model ten to LLM „ogólnego przeznaczenia” i nie został specjalne wyszkolony „w celu prowadzenia badań matematycznych”.

Eksperci entuzjazmują się tym, że sztuczna inteligencja podeszła pod problemu inaczej niż dotychczas ludzie-matematycy (choć podobno padały już takie pomysły w przeszłości), sięgając po więcej wymiarów niż dwa wymiary płaszczyzny. Po zidentyfikowaniu i zbudowaniu bardziej złożonych kształtów, zredukowała je do dwóch wymiarów, tworząc „cienie” struktur o wyższych wymiarach.

Choć, zanim opublikowano wyniki AI, przeprowadzono rygorystyczne weryfikacje, czym zajął się cały zespół wybitnych matematyków, osiągnięcie modelu OpenAI, jak wszystko w tej dziedzinie, jest przedmiotem dalszych analiz i weryfikacji przeprowadzanych przez ludzi i… zapewne także maszyny.

Dlaczego AI podniosła rękę na hipotezę Erdősa?

Warto podkreślić fakt, że to, do czego doszła AI jest obaleniem pierwotnej hipotezy Erdősa. Być o tym, że na to się poważyła, może decydowało, iż była to właśnie maszyna, która mogła nie rozumieć w pełni autorytetu wybitnego Węgra, i tego, że matematycy nawet nie brali pod uwagę, że jego przypuszczenie mogło być fałszywe. Zapewne znaczenie miał też fakt, że zmierzenie się z tym zagadnieniem wymagało od ludzi wszechstronnej wiedzy z wielu dziedzin.

W OpenAI projekt ten prowadził Lijie Chen. Bezpośrednią weryfikacją zajęli się Mark Sellke z Harvardu i Mehtaab Sawhney z Massachusetts Institute of Technology. W maju 2026, na serwerze arXiv pojawił się artykuł pod tytułem „Remarks on the disproof of the unit distance conjecture”. Podpisało go dziewięcioro matematyków: Noga Alon, wybitny specjalista w teorii grafów i teorii liczb, Thomas F. Bloom, którego obecność na tej liście jest o tyle ważna, że wcześniej kwestionował osiągnięcia matematyczne AI, W. T. Gowers, medalista nagrody Fieldsa z 1998 roku i ważna postać współczesnej kombinatoryki, a także Daniel Litt, Will Sawin, Arul Shankar, Jacob Tsimerman, Victor Wang i Melanie Matchett Wood.

Jakie są zastrzeżenia wobec osiągnięć AI w matematyce?

Najnowsze osiągnięcie modelu OpenAI ma przełomowe znaczenie także dlatego, że historia postępów sztucznej inteligencji w dziedzinie matematyki jest pełna kontrowersji, krytyki i sprzecznych opinii na ten temat. Wielu komentatorów, matematyków i naukowców nie miało przekonania, że AI da matematyce coś wartościowego i rzeczywiście odkrywczego, W sztucznej inteligencji upatrywano raczej narzędzia asystującego, weryfikującego, pomagającego w żmudnych obliczeniach dużych ilości danych. Na przykład należący do Google ośrodek DeepMind zaprezentował m. in. model AlphaProof, który w lipcu 2024 zdobył srebrny medal na Międzynarodowej Olimpiadzie Matematycznej IMO. Jednak to rozwiązanie nie do końca zostało uznawane za w pełni autonomiczną sztuczną inteligencję, gdyż ma wbudowany programistyczny weryfikator.

Choć sukces olimpijski AlphaProof był, w powszechnej ocenie, czymś imponującym, to jednak tym, co naprawdę, w ocenie ekspertów, wyróżniało AlphaProof, było, według publikacji na łamach „Nature”, zdolność do wykrywania i poprawiania błędów. Zdaniem badaczy, choć duże modele językowe (LLM) potrafią rozwiązywać problemy matematyczne, często nie są w stanie zagwarantować dokładności swoich rozwiązań. W rozumowaniu AI mogą czaić się błędy. Natomiast odpowiedzi AlphaProof mają być w 100 proc. poprawne. Gwarantować ma to specjalistyczne oprogramowanie o nazwie Lean (pierwotnie opracowane przez Microsoft Research), które działa jak drobiazgowy nauczyciel weryfikujący każdą logiczną operację krok algorytmu.

I tu tkwi wątpliwość, czy AlphaProof można uznać za definicyjne rozwiązanie AI, bo takie działa w języku naturalnym a nie na zasadzie napisanego wcześniej kodu. Rozumuje „jak człowiek”, czyli w sposób ogólny i czasem omylny a jego wyniki są dopiero potem weryfikowane przez prawdziwych ludzi.

„Jeśli porozmawiasz z matematykami i zapytasz ich o wyniki [AlphaProof] w IMO, spotkasz się z różnymi reakcjami. Myślę, że większość z nich powie, że są to dość trudne zadania na poziomie szkoły średniej, ale być może niektórzy inni matematycy uznają je za trywialne,” mówił Thomas Hubert, inżynier badawczy w DeepMind.

W czym problem z matematycznymi zdolnościami AI?

Nawet takie osiągnięcie, obalenie wielkiej hipotezy wielkiego matematyka, nie przekonuje sceptyków krytycznie nastawionych do matematycznych zdolności AI. Wskazują np. na częstą nieczytelność dowodów generowanych przez sztuczną inteligencję i ich niewielką przydatność do dalszych prac. Ponadto trudno często ocenić, na ile osiągnięcia AI są naprawdę świeże i nowe a na ile są zgrabną kompilacją wyników osiągniętych wcześniej przez ludzi. W rezultacie nie jest jasne, czy to AI rozwiązało zadanie, czy też z dużą efektywnością zestawiło metody rozwiązania, do których wcześniej doszli już ludzie.

W czerwcu 2025 r. około stu czołowych matematyków z całego świata zebrało się na Uniwersytecie Cambridge na konferencji skupiającej się na odpowiedzi na pytanie, czy komputery mogą pomóc matematykom w ze sprawdzaniu poprawności ich dowodów. Proces ten, znany jako formalizacja, niekoniecznie musi obejmować sztuczną inteligencję i rzeczywiście podczas podobnego wcześniejszego spotkania, które odbyło się w Cambridge w 2017 r., nie było jeszcze mowy o AI. Osiem lat później kwestią wpływu sztucznej inteligencji na matematykę była jednym z najważniejszych tematów. Bhavik Mehta z Imperial College London, który współpracował z Morph Labs, demonstrował na tej ostatniej konferencji przykład systemu Trinity dowodzącego twierdzenia związanego ze znaną w świecie matematyki hipotezą ABC, zaliczaną do największych istniejących problemów matematycznych. Chociaż dowód ten stanowił jedynie niewielki element całego dowodu potrzebnego do potwierdzenia ABC, a Trinity wymagało nieco bardziej szczegółowej wersji ręcznie sporządzonego dowodu niż oryginalny artykuł, wiele osób było zaskoczonych tym, jak wiele poprawnych kodów matematycznych zostało wygenerowanych przez to narzędzie.

Jednak nie wszyscy matematycy zgodzili się, że wyniki Morph Labs były aż tak imponujące. Rodrigo Ochigame z Uniwersytetu w Leiden w Holandii ostrzegał, że nie znamy wszystkich szczegółów tej pracy. „Opublikowali tylko jeden, prawdopodobnie starannie wybrany wynik działania swojego systemu, nie pisząc artykułu badawczego ani nie dzieląc się podstawowymi informacjami na temat swoich metod. Nie powiedzieli nawet, czy przetestowali swój system na innych twierdzeniach,” mówił. „Kiedy publiczność zapytała o ilość obliczeń wykorzystanych przez model, wielokrotnie odmawiali odpowiedzi, co utrudnia ocenę znaczenia ich wyników”.

Czego oczekują od AI matematycy?

Terence Tao, profesor matematyki na Uniwersytecie Kalifornijskim w Los Angeles (UCLA), nazywany „Mozartem matematyki” i powszechnie uważany za najwybitniejszego żyjącego matematyka na świecie, opublikował jakiś czas temu w internecie swoje wrażenia na temat modelu o1 firmy OpenAI. Porównał go do „przeciętnego, ale nie do końca niekompetentnego” studenta.

Zarazem Tao dostrzegł też zapotrzebowanie na swoisty rodzaj „matematyki na skalę przemysłową” opartej na sztucznej inteligencji, która nigdy wcześniej nie była możliwa. W jego ocenie, AI, przynajmniej na razie i jeszcze przez jakiś czas, nie będzie kreatywnym współpracownikiem sama w sobie, a raczej środkiem smarującym hipotezy i podejścia matematyków. Nowy rodzaj matematyki z użyciem AI, który mógłby otworzyć nieznane obszary wiedzy, pozostanie, jak przypuszcza Tao, ciągle w swej istocie ludzki, przy uwzględnieniu, że ludzie i maszyny mają różne mocne strony, które należy postrzegać jako uzupełniające się wzajemnie, a nie konkurujące.

Tao opowiadał o swoich doświadczeniach z ChatGPT: „Zadałem kilka trudnych zadań matematycznych i otrzymałem dość absurdalne wyniki. Wczesne modele GPT były mało imponujące. Nadawały się do zabawnych rzeczy, na przykład do wyjaśnienia jakiegoś zagadnienia matematycznego w formie wiersza lub opowiadania dla dzieci”. Późniejsze wersje były, jak ocenia, lepsze, jednak tylko w niektórych zastosowaniach, np. analizie wariantów.

„To już się dzieje w niektórych innych obszarach,” zauważał Tao. „Sztuczna inteligencja podbiła szachy lata temu (…) Całkiem dobry szachista może teraz spekulować, które ruchy są dobre w jakich sytuacjach i może użyć silników szachowych, aby sprawdzić dwadzieścia ruchów do przodu. Widzę, że coś takiego może się kiedyś wydarzyć w matematyce. Masz projekt i pytasz: ‘A co, jeśli wypróbuję to podejście?’. Zamiast spędzać godziny na próbach, aby to zadziałało, instruujesz GPT, by zrobił to za ciebie. Z o1 można to w pewnym sensie zrobić. (…) Model nigdy nie wymyślił najsprytniejszych kroków. Potrafił wykonywać wszystkie rutynowe czynności, ale był pozbawiony wyobraźni. Jedną z kluczowych różnic między studentami a sztuczną inteligencją jest to, że studenci się uczą. Mówisz sztucznej inteligencji, że jej podejście nie działa, ona przeprasza, może chwilowo skoryguje swój kurs, ale czasami po prostu wraca do tego, co próbowała wcześniej. A jeśli zaczynasz nową sesję z AI, wracasz do punktu wyjścia”.

Poza swoją krytyką, Tao uważa, że, jak ich określa. „asystenci dowodów” to przydatne narzędzia komputerowe, które sprawdzają, czy dowód matematyczny jest poprawny, czy nie. Przy stuprocentowo poprawnie działającym asystencie „możesz wykonywać obliczenia matematyczne na skalę przemysłową, w stylu produkcji fabrycznej”. „Klasyczna idea matematyki polegała na tym, że wybierasz bardzo trudny problem, a potem jedna lub dwie osoby są zamknięte na strychu na siedem lat i po prostu nad nim pracują”, mówi matematyk. „Teraz mamy fabryki. (…) Zamiast wąskiej, głębokiej matematyki, gdzie ekspert ciężko pracuje nad wąskim zakresem problemów, można mieć szerokie, zlecone przez całą społeczność naukową problemy z dużym wsparciem sztucznej inteligencji, które są może płytsze, ale na znacznie większą skalę”.

Co to oznacza dla przyszłości matematyki?

„Sto pięćdziesiąt lat temu matematyka była przede wszystkim użyteczna w rozwiązywaniu równań różniczkowych cząstkowych. Istnieją już pakiety komputerowe, które robią to automatycznie” - kontynuuje Tao - „Sześćset lat temu matematycy tworzyli tablice sinusów i cosinusów, niezbędne do nawigacji, ale teraz komputery mogą je generować w kilka sekund. Nie chodzi o powielanie rzeczy, w których ludzie są już dobrzy. Wydaje się to nieefektywne. Myślę, że będziemy potrzebować ludzi jak też sztucznej inteligencji. Mają one wzajemnie uzupełniające się mocne strony. Sztuczna inteligencja jest bardzo dobra w przekształcaniu miliardów danych w jedną dobrą odpowiedź. Ludzie są dobrzy w zbieraniu dziesięciu obserwacji i formułowaniu trafnych hipotez”.

Matematycy nie są, jak widać, bardzo skłonni, by już teraz powierzać AI najważniejsze i najtrudniejsze problemy matematyczne. Widzą w niej dość obiecujące narzędzie, które może ulżyć w uciążliwych i trudnych dla pojedynczych ludzi zadaniach. Obalenie hipotezy Erdősa i ewentualne kolejne wielkie matematyczne dokonania modeli AI mogą jednak zmienić to podejście.

Źródła:

• https://openai.com/pl-PL/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/
• https://www.newscientist.com/article/2527564-mathematicians-stunned-by-ais-biggest-breakthrough-in-mathematics-yet/
•  https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-proof.pdf
•  https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-remarks.pdf
•  https://cdn.openai.com/pdf/1625eff6-5ac1-40d8-b1db-5d5cf925de8b/unit-distance-cot.pdf
•  https://mathstodon.xyz/@tao/113132502735585408

FAQ: AI obala hipotezę Erdősa

1. Co właściwie wydarzyło się w maju 2026 roku? Model AI opracowany przez OpenAI wykazał, że hipoteza Paula Erdősa dotycząca maksymalnej liczby jednakowych odległości między punktami na płaszczyźnie była błędna. AI znalazło układ punktów dający znacznie więcej połączeń niż przewidywała regularna sieć Erdősa, a wynik został zweryfikowany przez grono uznanych matematyków.
2. Czym była hipoteza Erdősa i kiedy została sformułowana? Paul Erdős postawił w 1946 roku w pracy „On Sets of Distances of n Points” pytanie o maksymalną liczbę linii o jednakowej długości, jakie można narysować łącząc punkty na nieskończonej kartce. Przypuszczał, że najlepszym rozwiązaniem jest regularna sieć punktów, dająca liczbę połączeń tylko nieznacznie wyższą od liczby punktów.
3. Dlaczego to odkrycie wywołało takie wrażenie wśród matematyków? Bo problem pozostawał nierozwiązany przez dekady, a ostatnia istotna modyfikacja hipotezy miała miejsce ponad 40 lat temu. Tacy badacze jak Misha Rudnev, Tim Gowers czy Will Sawin opisywali wynik jako „sensację” i „kamień milowy w matematyce AI”, porównując go do poziomu, jaki zaakceptowaliby do publikacji w prestiżowym „Annals of Mathematics”.
4. Jak AI podeszła do rozwiązania problemu Erdősa? Zamiast operować jak ludzie wyłącznie na płaszczyźnie (2D), model wykorzystał więcej wymiarów – zidentyfikował i zbudował złożone, wielowymiarowe kształty, a następnie zredukował je do dwóch wymiarów jako „cienie” struktur wyższych wymiarów.
5. Kto zweryfikował wynik AI? Bezpośrednią weryfikacją zajęli się Mark Sellke (Harvard) i Mehtaab Sawhney (MIT), a projekt w OpenAI prowadził Lijie Chen. W maju 2026 na arXiv opublikowano artykuł „Remarks on the disproof of the unit distance conjecture”, podpisany przez dziewięciu matematyków, m.in. Nogę Alona, Thomasa F. Blooma, W. T. Gowersa (medalistę Fieldsa) i Terence’a Tao wśród współautorów listy.
6. Czy to pierwszy przypadek AI rozwiązującej trudny problem matematyczny? Nie, ale wcześniejsze osiągnięcia, jak srebrny medal modelu AlphaProof (DeepMind) na Olimpiadzie Matematycznej w 2024 roku, opierały się na wbudowanym weryfikatorze kodu (Lean), co budziło wątpliwości, czy to „prawdziwa” AI rozumująca w języku naturalnym, czy system wspomagany formalnym dowodzeniem.
7. Czy to oznacza, że matematycy zaczną powierzać AI najważniejsze problemy? Na razie nie w pełni – matematycy traktują AI jako obiecujące narzędzie wspomagające przy żmudnych zadaniach, ale to i podobne osiągnięcia mogą z czasem zmienić to podejście.

[Autor, Mirosław Usidus jest popularyzotorem nauki i byłym redaktorem naczelnym Młodego Technika]

[Tytuł, lead, sekcje "Co musisz wiedzieć", "Dlaczego to historyczny moment i niektóre śródtytuły od Redakcji]

Co to oznacza dla zwykłego użytkownika?

Choć odkrycie dotyczy abstrakcyjnej matematyki, podobne metody mogą w przyszłości przyspieszać rozwój nowych technologii, kryptografii, projektowania materiałów czy systemów sztucznej inteligencji. Pokazuje ono również, że AI zaczyna wspierać naukowców nie tylko w obliczeniach, ale także w tworzeniu nowych hipotez i metod badawczych.